Qu'est-ce que gram schmidt ?

Gram-Schmidt est une méthode qui permet de trouver une base orthogonale à partir d'une base quelconque dans un espace vectoriel de dimension finie.

Cette méthode porte le nom des mathématiciens Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, qui l'ont développée indépendamment l'un de l'autre au début du XXe siècle. Elle est souvent utilisée en algèbre linéaire et en analyse numérique.

Le procédé consiste à prendre une première base de vecteurs et à la transformer petit à petit pour obtenir une base orthogonale. Pour cela, on commence par normaliser le premier vecteur en le divisant par sa norme. Ensuite, pour chaque vecteur suivant, on projette le vecteur sur l'espace orthogonal aux vecteurs précédents, et on retire cette projection du vecteur initial pour obtenir une composante orthogonale. On normalise cette composante pour obtenir le vecteur suivant de la base.

En utilisant la méthode Gram-Schmidt, on peut trouver une base orthonormée, c'est-à-dire une base orthogonale de vecteurs unitaires.

Cette méthode est très utile pour résoudre des problèmes pratiques de l'algèbre linéaire, tels que la résolution de systèmes d'équations linéaires, l'approximation de fonctions par une base orthogonale, ou la diagonalisation de matrices symétriques.